二进制

时间:2020-03-26 20:02:01

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依底数区分的进位制系统
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 24 30 32 36 60 64

就是十进制数字3.25。

所有二进分数 p 2 a {displaystyle {frac {p}{2^{a}}}} 都对应一个“有穷”二进制数字——这一二进制表示的小数部分位数有限。其他有理数也有二进制表示,但不是有穷的,而是出现循环,即某个有限串行出现无数次。例如

1 10 3 10 {displaystyle {frac {1_{10}}{3_{10}}}} = 1 2 11 2 {displaystyle {frac {1_{2}}{11_{2}}}} = 0.01010101012
12 10 17 10 {displaystyle {frac {12_{10}}{17_{10}}}} = 1100 2 10001 2 {displaystyle {frac {1100_{2}}{10001_{2}}}} = 0.10110100 10110100 10110100...2

在其他基数的计数系统中,有理数的表示也是有穷或循环的。另一相似之处在于,如果我们有一个有穷表示,那么它还会有其他的表示方式,例如几何级数2 + 2 + 2 + ...的和既是1,也是0.111111...。

无限不循环二进制小数表示的是无理数。例如,

  • 0.101001000100001000001000000…有某种模式,但循环节长度不固定,所以是无理数
  • 1.0110101000001001111001100110011111110…是2的平方根 2 {displaystyle {sqrt {2}}} 的二进制表示,也是一个无理数。它没有可以看出的模式。参见无理数。

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