结式

结式是数学中一个常用的不变量。考虑域 ${\displaystyle F}$，设其首项系数分别为 ${\displaystyle a,b}$

其中 ${\displaystyle \overline{F}}$ 的给定代数闭包。由此定义的结式是 ${\displaystyle F}$ 首项系数为一；若 ${\displaystyle Q}$

此式仅依赖于 ${\displaystyle Q}$ 的余式。

• 承上，可透过辗转相除法求得结式。

性质

• ${\displaystyle \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=(-1{)}^{\mathrm{deg}P\cdot \mathrm{deg}Q}\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(Q,P)}$
• 若 ${\displaystyle P_1=P+R\ast Q}$，那么${\displaystyle \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P_1,Q)}$ 同次，${\displaystyle X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q}$
  • ${\displaystyle \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P_{-},Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(Q_{-},P)}$。

  应用

  • 一多项式 ${\displaystyle P}$的结式可由判别式 ${\displaystyle D(P)}$ 的首项系数为 ${\displaystyle a}$。
    • 在代数几何中，可用结式计算两条平面代数曲线之交。
    • 在域论中，结式可用来计算范数。
    • Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.