庞加莱不等式

时间:2020-07-31 15:54:18

数学中,庞加莱不等式是索伯列夫空间理论中的一个结果,由法国数学家昂利·庞加莱命名。这个不等式说明了一个函数的行为可以用这个函数的变化率的行为和它的定义域的几何性质来控制。也就是说,已知函数的变化率和定义域的情况下,可以对函数的上界作出估计。庞加莱不等式在现代的变分法理论中有重要应用。一个与之相近的结果是弗雷德里希不等式。

叙述

经典形式

p是一个大于等于1的实数,n是一个正整数。上的一个有界开子集,并且其边界是满足利普希兹条件的区域(也就是说它的边界是一个利普希茨连续函数的图像)。在这种情况下,存在一个只与 中所有的函数u,都有:

指的是Lp空间之中的范数,

上的平均值,而 的勒贝格测度。

推广

在其他的索伯列夫空间上也有与庞加莱不等式类似的结果。比如说,定义空间H1/2(T2)是单位环面T2上的Lp空间中傅里叶变换û满足

其中的作为一个R3中的子集的调和容度。

庞加莱常数

以上不等式中的常数C的最优值被称为区域 的几何性质有关。在某些特定的条件下,比如已知区域。而当p=2的时候,庞加莱常数至多等于,这个值严格小于估计

参见

  • 索博列夫不等式

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