薛定谔绘景

时间:2020-06-02 15:48:02

埃尔温·薛定谔

薛定谔绘景(Schrödinger picture)是量子力学的一种表述,为纪念物理学者埃尔温·薛定谔而命名。在薛定谔绘景里,量子系统的态矢量随着时间流易而演化,而像位置、自旋一类的对应于可观察量的算符则与时间无关。

薛定谔绘景与海森堡绘景、狄拉克绘景不同。在海森堡绘景里,对应于可观察量的算符会随着时间流易而演化,而描述量子系统的态矢量则与时间无关。在狄拉克绘景里,态矢量与算符都会随着时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归,所获得的结果完全一致。这是必然的,因为它们都是在表达同样的物理现象。

在薛定谔绘景里,负责时间演化的算符是一种幺正算符,称为时间演化算符。假设时间从 t 0 {displaystyle t_{0}} 流易到 t {displaystyle t} ,而经过这段时间间隔,态矢量 | ψ ( t 0 ) {displaystyle |psi (t_{0})rangle } 演化为态矢量 | ψ ( t ) {displaystyle |psi (t)rangle } ,这时间演化过程以方程表示为

| ψ ( t ) = U ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) {displaystyle |psi (t)rangle =U(t,t_{0})|psi (t_{0})rangle }

其中, U ( t , t 0 ) {displaystyle U(t,t_{0})} 是时间演化算符。

假设系统的哈密顿量 H {displaystyle H} 不含时,则时间演化算符为

U ( t , t 0 ) = e i H ( t t 0 ) / {displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/hbar }}

其中, {displaystyle hbar } 是约化普朗克常数,指数函数 e i H ( t t 0 ) / {displaystyle e^{-iH(t-t_{0})/hbar }} 必须通过其泰勒级数计算。

在初级量子力学教科书里,时常会使用薛定谔绘景。

时间演化算符

定义

时间演化算符 U ( t , t 0 ) {displaystyle U(t,,t_{0})} 定义为

| ψ ( t )   = d e f   U ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) {displaystyle |psi (t)rangle {stackrel {def}{=}} U(t,,t_{0})|psi (t_{0})rangle }

其中,右矢 | ψ ( t ) {displaystyle |psi (t)rangle } 表示时间为 t {displaystyle t} 的态矢量, U ( t , t 0 ) {displaystyle U(t,,t_{0})} 是时间演化算符,从时间 t {displaystyle t} 演化到时间 t 0 {displaystyle t_{0}}

这方程可以做这样解释:将时间演化算符 U ( t , t 0 ) {displaystyle U(t,,t_{0})} 作用于时间是 t 0 {displaystyle t_{0}} 的态矢量 | ψ ( t 0 ) {displaystyle |psi (t_{0})rangle } ,则会得到时间是 t {displaystyle t} 的态矢量 | ψ ( t ) {displaystyle |psi (t)rangle }

类似地,也可以用左矢 ψ | {displaystyle langle psi |} 来定义:

ψ ( t ) | = ψ ( t 0 ) | U ( t , t 0 ) {displaystyle langle psi (t)|=langle psi (t_{0})|U^{dagger }(t,,t_{0})}

其中,算符 U {displaystyle U^{dagger }} 是算符 U {displaystyle U} 的厄米共轭。

性质

幺正性

由于态矢量必须满足归一条件,态矢量的范数不能随时间而变:

ψ ( t ) | ψ ( t ) = ψ ( t 0 ) | ψ ( t 0 ) {displaystyle langle psi (t)|psi (t)rangle =langle psi (t_{0})|psi (t_{0})rangle }

可是,

ψ ( t ) | ψ ( t ) = ψ ( t 0 ) | U ( t , t 0 ) U ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) {displaystyle langle psi (t)|psi (t)rangle =langle psi (t_{0})|U^{dagger }(t,,t_{0})U(t,,t_{0})|psi (t_{0})rangle }

所以,

U ( t , t 0 ) U ( t , t 0 ) = I {displaystyle U^{dagger }(t,,t_{0})U(t,,t_{0})=I} ;

其中, I {displaystyle I} 是单位算符。

单位性

时间演化算符 U ( t 0 , t 0 ) {displaystyle U(t_{0},,t_{0})} 必须是单位算符 U ( t 0 , t 0 ) = I {displaystyle U(t_{0},,t_{0})=I} ,因为,[1]

| ψ ( t 0 ) = U ( t 0 , t 0 ) | ψ ( t 0 ) {displaystyle |psi (t_{0})rangle =U(t_{0},,t_{0})|psi (t_{0})rangle }

闭包性

从初始时间 t 0 {displaystyle t_{0}} 到最后时间 t {displaystyle t} 的时间演化算符,可以视为从中途时间 t 1 {displaystyle t_{1}} 到最后时间 t {displaystyle t} 的时间演化算符,乘以从初始时间 t 0 {displaystyle t_{0}} 到中途时间 t 1 {displaystyle t_{1}} 的时间演化算符[1]

U ( t , t 0 ) = U ( t , t 1 ) U ( t 1 , t 0 ) {displaystyle U(t,,t_{0})=U(t,,t_{1})U(t_{1},,t_{0})}

根据时间演化算符的定义,

| ψ ( t 1 ) = U ( t 1 , t 0 ) | ψ ( t 0 ) {displaystyle |psi (t_{1})rangle =U(t_{1},,t_{0})|psi (t_{0})rangle }
| ψ ( t ) = U ( t , t 1 ) | ψ ( t 1 ) {displaystyle |psi (t)rangle =U(t,,t_{1})|psi (t_{1})rangle }

所以,

| ψ ( t ) = U ( t , t 1 ) U ( t 1 , t 0 ) | ψ ( t 0 ) {displaystyle |psi (t)rangle =U(t,,t_{1})U(t_{1},,t_{0})|psi (t_{0})rangle }

可是,再根据定义,

| ψ ( t ) = U ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) {displaystyle |psi (t)rangle =U(t,,t_{0})|psi (t_{0})rangle }

所以,时间演化算符必须满足闭包性:

U ( t , t 0 ) = U ( t , t 1 ) U ( t 1 , t 0 ) {displaystyle U(t,,t_{0})=U(t,,t_{1})U(t_{1},,t_{0})}

时间演化算符的微分方程

为了方便起见,设定 t 0 = 0 {displaystyle t_{0}=0} ,初始时间 t 0 {displaystyle t_{0}} 永远是 0 {displaystyle 0} ,则可忽略时间演化算符的 t 0 {displaystyle t_{0}} 参数,改写为 U ( t ) {displaystyle U(t)} 。含时薛定谔方程为

i t | ψ ( t ) = H | ψ ( t ) {displaystyle ihbar {partial over partial t}|psi (t)rangle =H|psi (t)rangle }

其中, H {displaystyle H} 是哈密顿量。

从时间演化算符的定义式,可以得到

i t U ( t ) | ψ ( 0 ) = H U ( t ) | ψ ( 0 ) {displaystyle ihbar {partial over partial t}U(t)|psi (0)rangle =HU(t)|psi (0)rangle }

由于 | ψ ( 0 ) {displaystyle |psi (0)rangle } 可以是任意恒定态矢量(处于 t = 0 {displaystyle t=0} 的态矢量),时间演化算符必须遵守方程

i t U ( t ) = H U ( t ) {displaystyle ihbar {partial over partial t}U(t)=HU(t)}

假若哈密顿量不含时,则这方程的解答为

U ( t ) = e i H t / {displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }}

注意到在时间 t = 0 {displaystyle t=0} ,时间演化算符必须约化为单位算符 U ( 0 ) = I {displaystyle U(0)=I} 。由于 H {displaystyle H} 是算符,指数函数 e i H t {displaystyle e^{-iHt}} 必须通过其泰勒级数计算:

e i H t / = 1 i H t 1 2 ( H t ) 2 + {displaystyle e^{-iHt/hbar }=1-{frac {iHt}{hbar }}-{frac {1}{2}}left({frac {Ht}{hbar }}right)^{2}+cdots }

按照时间演化算符的定义,在时间 t {displaystyle t} ,态矢量为

| ψ ( t ) = e i H t / | ψ ( 0 ) {displaystyle |psi (t)rangle =e^{-iHt/hbar }|psi (0)rangle }

注意到 | ψ ( 0 ) {displaystyle |psi (0)rangle } 可以是任意态矢量。假设初始态矢量 | ψ ( 0 ) {displaystyle |psi (0)rangle } 是哈密顿量的本征态,而本征值是 E {displaystyle E} ,则在时间 t {displaystyle t} ,态矢量为

| ψ ( t ) = e i E t / | ψ ( 0 ) {displaystyle |psi (t)rangle =e^{-iEt/hbar }|psi (0)rangle }

这样,可以看到哈密顿量的本征态是定态,随着时间的流易,只有相位因子在进行演化。

假设,哈密顿量与时间有关,但在不同时间的哈密顿量相互对易,则时间演化算符可以写为

U ( t ) = exp ( i 0 t H ( t ) d t ) {displaystyle U(t)=exp left({-{frac {i}{hbar }}int _{0}^{t}H(t'),dt'}right)}

假设,哈密顿量与时间有关,而在不同时间的哈密顿量不相互对易,则时间演化算符可以写为

U ( t ) = T exp ( i 0 t H ( t ) d t ) {displaystyle U(t)=Texp left({-{frac {i}{hbar }}int _{0}^{t}H(t'),dt'}right)}

其中, T {displaystyle T} 是时间排序算符。

必须用戴森级数英语Dyson series来表示,

U ( t ) = 1 + n = 1 ( i ) n 0 t d t 1 0 t 1 d t 2 0 t

与本文近似的文章: