薛定谔绘景

薛定谔绘景（Schrödinger picture）是量子力学的一种表述，为纪念物理学者埃尔温·薛定谔而命名。在薛定谔绘景里，量子系统的态矢量随着时间流易而演化，而像位置、自旋一类的对应于可观察量的算符则与时间无关。

薛定谔绘景与海森堡绘景、狄拉克绘景不同。在海森堡绘景里，对应于可观察量的算符会随着时间流易而演化，而描述量子系统的态矢量则与时间无关。在狄拉克绘景里，态矢量与算符都会随着时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归，所获得的结果完全一致。这是必然的，因为它们都是在表达同样的物理现象。

在薛定谔绘景里，负责时间演化的算符是一种幺正算符，称为时间演化算符。假设时间从${\displaystyle t_0}$流易到${\displaystyle t}$，而经过这段时间间隔，态矢量${\displaystyle |\psi (t_0)⟩}$演化为态矢量${\displaystyle |\psi (t)⟩}$，这时间演化过程以方程表示为

${\displaystyle |\psi (t)⟩=U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩}$；

其中，${\displaystyle U(t,t_0)}$是时间演化算符。

假设系统的哈密顿量${\displaystyle H}$不含时，则时间演化算符为

${\displaystyle U(t,t_0)=e^{-iH(t-t_0)/\hslash }}$；

其中，${\displaystyle \hslash }$是约化普朗克常数，指数函数${\displaystyle e^{-iH(t-t_0)/\hslash }}$必须通过其泰勒级数计算。

在初级量子力学教科书里，时常会使用薛定谔绘景。

时间演化算符

定义

时间演化算符${\displaystyle U(t,t_0)}$定义为

${\displaystyle |\psi (t)⟩\stackrel{def}{=}U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩}$；

其中，右矢${\displaystyle |\psi (t)⟩}$表示时间为${\displaystyle t}$的态矢量，${\displaystyle U(t,t_0)}$是时间演化算符，从时间${\displaystyle t}$演化到时间${\displaystyle t_0}$。

这方程可以做这样解释：将时间演化算符${\displaystyle U(t,t_0)}$作用于时间是${\displaystyle t_0}$的态矢量${\displaystyle |\psi (t_0)⟩}$，则会得到时间是${\displaystyle t}$的态矢量${\displaystyle |\psi (t)⟩}$。

类似地，也可以用左矢${\displaystyle ⟨\psi |}$来定义：

${\displaystyle ⟨\psi (t)|=⟨\psi (t_0)|U^{†}(t,t_0)}$；

其中，算符${\displaystyle U^{†}}$是算符${\displaystyle U}$的厄米共轭。

性质

幺正性

由于态矢量必须满足归一条件，态矢量的范数不能随时间而变：

${\displaystyle ⟨\psi (t)|\psi (t)⟩=⟨\psi (t_0)|\psi (t_0)⟩}$。

可是，

${\displaystyle ⟨\psi (t)|\psi (t)⟩=⟨\psi (t_0)|U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩}$。

所以，

${\displaystyle U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)=I}$ ;

其中，${\displaystyle I}$是单位算符。

单位性

时间演化算符${\displaystyle U(t_0,t_0)}$必须是单位算符${\displaystyle U(t_0,t_0)=I}$，因为，^[1]

${\displaystyle |\psi (t_0)⟩=U(t_0,t_0)|\psi (t_0)⟩}$。

闭包性

从初始时间${\displaystyle t_0}$到最后时间${\displaystyle t}$的时间演化算符，可以视为从中途时间${\displaystyle t_1}$到最后时间${\displaystyle t}$的时间演化算符，乘以从初始时间${\displaystyle t_0}$到中途时间${\displaystyle t_1}$的时间演化算符^[1]：

${\displaystyle U(t,t_0)=U(t,t_1)U(t_1,t_0)}$。

根据时间演化算符的定义，

${\displaystyle |\psi (t_1)⟩=U(t_1,t_0)|\psi (t_0)⟩}$，

${\displaystyle |\psi (t)⟩=U(t,t_1)|\psi (t_1)⟩}$。

所以，

${\displaystyle |\psi (t)⟩=U(t,t_1)U(t_1,t_0)|\psi (t_0)⟩}$。

可是，再根据定义，

${\displaystyle |\psi (t)⟩=U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩}$。

所以，时间演化算符必须满足闭包性：

${\displaystyle U(t,t_0)=U(t,t_1)U(t_1,t_0)}$。

时间演化算符的微分方程

为了方便起见，设定${\displaystyle t_0=0}$，初始时间${\displaystyle t_0}$永远是${\displaystyle 0}$，则可忽略时间演化算符的${\displaystyle t_0}$参数，改写为${\displaystyle U(t)}$。含时薛定谔方程为

${\displaystyle i\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩}$；

其中，${\displaystyle H}$是哈密顿量。

从时间演化算符的定义式，可以得到

${\displaystyle i\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}U(t)|\psi (0)⟩=HU(t)|\psi (0)⟩}$。

由于${\displaystyle |\psi (0)⟩}$可以是任意恒定态矢量（处于${\displaystyle t=0}$的态矢量），时间演化算符必须遵守方程

${\displaystyle i\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}U(t)=HU(t)}$。

假若哈密顿量不含时，则这方程的解答为

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hslash }}$。

注意到在时间${\displaystyle t=0}$，时间演化算符必须约化为单位算符${\displaystyle U(0)=I}$。由于${\displaystyle H}$是算符，指数函数${\displaystyle e^{-iHt}}$必须通过其泰勒级数计算：

${\displaystyle e^{-iHt/\hslash }=1-\frac{iHt}{\hslash }-\frac{1}{2}{\left(\frac{Ht}{\hslash }\right)}^2+\cdots }$。

按照时间演化算符的定义，在时间${\displaystyle t}$，态矢量为

${\displaystyle |\psi (t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩}$。

注意到${\displaystyle |\psi (0)⟩}$可以是任意态矢量。假设初始态矢量${\displaystyle |\psi (0)⟩}$是哈密顿量的本征态，而本征值是${\displaystyle E}$，则在时间${\displaystyle t}$，态矢量为

${\displaystyle |\psi (t)⟩=e^{-iEt/\hslash }|\psi (0)⟩}$。

这样，可以看到哈密顿量的本征态是定态，随着时间的流易，只有相位因子在进行演化。

假设，哈密顿量与时间有关，但在不同时间的哈密顿量相互对易，则时间演化算符可以写为

${\displaystyle U(t)=\exp \left(-\frac{i}{\hslash }{\int }_0^{t}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)}$。

假设，哈密顿量与时间有关，而在不同时间的哈密顿量不相互对易，则时间演化算符可以写为

${\displaystyle U(t)=T\exp \left(-\frac{i}{\hslash }{\int }_0^{t}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)}$；

其中，${\displaystyle T}$是时间排序算符。

必须用戴森级数（英语：Dyson series）来表示，

${\displaystyle U(t)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{-i}{\hslash }\right)}^n{\int }_0^{t}d{t}_1{\int }_0^{t_1}d{t}_2\dots {\int }_0^{t_{}}}$